An analysis of the B.P.M. approximation of the Helmholtz equation in an optical fiber

— Beam propagation in an optical fiber is usuatty described by the Helmholtz équation. Feit and Fleck have proposed a splitting method algorithm (the Beam Propagation Method or B.P.M.) in order to approximate this équation. In this work, we discuss their procedure and dérive the équation which is consistent with this algorithm. We give a functionnal framework that allows one to solve this équation. A fier describing some qualitative features of the solutions, we show the convergence of the splitting method. Finally we make some remarks in the nonlinear case where the re fr active index of the fiber dépends on the intensity of the beam (Kerr-effect). Résumé. — La propagation d'un faisceau monochromatique dans une fibre optique est usuellement décrite par l'équation d'Helmholtz. Feit et Fleck ont proposé un algorithme d'approximation de cette équation par une méthode de décomposition. Dans ce travail, nous discutons ce procédé et dérivons l'équation qui est consistante avec cet algorithme. Nous donnons un cadre fonctionnel qui permet de résoudre cette équation et, après avoir décrit quelques propriétés qualitatives de ses solutions, nous montrons la convergence de l'algorithme de décomposition. Enfin nous faisons quelques remarques dans le cas non linéaire où l'indice de réfraction de la fibre dépend de l'intensité du faisceau lumineux (effet Kerr).